Fuzzy Bibliothek/Technische Anwendungen/Müllverbrennungsanlage
Regelung einer Müllverbrennungsanlage mit Fuzzy Logic
C. von Altrock und B. Krause, INFORM GmbH, Aachen,
Deutschland / Chicago, Illinois,
K. Limper und Dr. W. Schäfers, L.&C. Steinmüller GmbH, Gummersbach, Deutschland
Veröffentlichungsnotiz: Prof. Dr. Dr. H.-J. Zimmermann/C. v. Altrock: "Fuzzy Logic. Band 2: Anwendungen", Oldenbourgh Verlag München Wien 1994
Zusammenfassung
Der Aufbau einer konventionellen Regelung erfordert prinzipiell ein mathematisches Modell der Regelstrecke. Bei der Regelung einer Müllverbrennungsanlage scheitert dieser Ansatz, da die Qualität des Mülls in der Regel nicht bekannt ist und sich zur Prozeßlaufzeit auch nicht hinreichend messen läßt. Die daraus resultierenden Unsicherheiten müssen durch einen entsprechenden Regelungsansatz berücksichtigt werden. Hier vorgestellt wird der Einsatz der Fuzzy Technologie.
In regelungstechnischen Anwendungen wird Fuzzy Logic mittlerweile häufig eingesetzt. Die Zusammenhänge zwischen Eingangs- und Ausgangsgrößen werden dabei durch Produktionsregeln wiedergegeben, die die Reaktionen des Reglers in Form linguistischer WENN-DANN-Beziehungen ausdrücken.
Zur Regelung komplexer Prozesse müssen große Regelmengen bearbeitet werden, soll das vorhandene Expertenwissen möglichst vollständig genutzt werden. Erweiterte Methoden der Fuzzy Technologien erleichtern die Handhabung großer Systeme, so z. B. Fuzzy Associative Maps (FAMs) und die sogenannte On-Line Technologie, die eine Optimierung des Fuzzy-Reglers bei laufendem Prozeß und in Echtzeit ermöglicht. Durch die Verwendung von CASE-Tools kann sowohl eine schnelle Implementierung des Expertenwissens als auch ein schneller Zugriff auf die Systemstrukturen zur Verbesserung der Regelung ermöglicht werden.
Die Anwendung der erweiterten Fuzzy-Technologien über ein Case-Tool wird anhand der Regelung der Müllverbrennungsanlage in Hamburg-Stapelfeld vorgestellt.
1. Müllverbrennung
Anlagen zur Müllverbrennuung sind zunehmend Gegenstand öffentlicher Diskussionen. Die Anforderungen zur Behandlung ständig steigender Abfallmengen stehen dabei neuen immer restriktiveren Umweltgesetzen gegenüber. Erweiterte Kenntnisse über die Toxizität von chlororganischen Schadstoffemissionen verändern auch die Ziele bei der Müllverbrennung: Neben der konstanten Verbrennungsleistung wird eine ökologische Optimierung des Prozesses - also eine möglichst große Volumenreduktion des Mülls bei minimierten Emissionen - vordringlich. Den schematischen Aufbau einer Müllverbrennungsanlage zeigt Bild 1.
Der angelieferte Müll wird zunächst in einem Bunker gelagert und von dort mit einem Kran in den Aufgabetrichter der Verbrennungsanlage gegeben. Über den Fallschacht und die Zuteilvorrichtung gelangt der Müll dann auf den Rost. Dieser besteht aus zwei parallelen Rostbahnen mit jeweils 5 Rostzonen. Auf dem Rost durchwandert der Müll nach der Trocknungszone die Verbrennungszone und gelangt schließlich zur Ausbrandzone, von wo die ausgebrannte Schlacke in den Entschlacker fällt. Die optimale Feuerlage ist auf der Mitte der 3. Rostzone, da der Müll dann ausreichend vorgetrocknet ist und anschließend noch genügend Verweilzeit vorhanden ist, um einen vollständigen Ausbrand zu erreichen (Bild 2).
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Abbildung 1: Schematische Struktur der Müllverbrennungsanlage in Hamburg Stapelfeld |
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Abbildung 2: Trocknungs-, Verbrennungs- und Ausbrandzone |
Obwohl der Kranführer versucht, den Müll durch Mischung zu homogenisieren, ist eine einheitliche Aufgabequalität nicht einzuhalten. Bestehende Automatisierungen und Regelungen haben vor allem zum Ziel, die thermische Leistung bei gutem Ausbrand konstant zu halten und so die Voraussetzungen für eine gleichbleibend hohe Energieproduktion zu schaffen. Um dieses Ziel zu erreichen ist der Einsatz qualifizierter Anlagenfahrer unabdingbar. Trotz dieser Maßnahmen ist bei den meisten Verbrennungsanlagen aufgrund der extrem inhomogenen Zusammensetzung des Hausmülls ein manueller Eingriff zeitweise nicht zu vermeiden. Bei diesem manuellen Eingriff wird aufgrund der Beobachtung des Feuerraums auf die Zuteilung des Mülls und auf die Rostfahrweise eingegriffen.
Ziel der Feuerungsführung ist es, bei einer einzuhaltenden thermischen Feuerleistung und einem vorgegebenen Sauerstoffgehalt im Rauchgas durch eine ausreichende Ausbrandgüte den gesetzlichen Anforderungen an die Rostschlacke und die Flugasche zu genügen. Darüber hinaus wird zur Entlastung der nachgeschalteten Rauchgasreinigungsanlagen zunehmend eine Absenkung der verbrennungstechnisch bedingten Schadstoffgehalte im Rauchgas bereits am Kesselaustritt erwartet.
Steigende Abfallmengen, restriktivere Umweltgesetzen und erweiterte Kenntnisse über die Toxizität von chlororganischen Schadstoffemissionen erfordern neben der konstanten Verbrennungsleistung immer vordringlicher auch eine ökologische Optimierung des Prozesses. Gefordert ist dabei eine möglichst große Volumenreduktion des Mülls bei minimierten Emissionen. Bei der Verbrennung muß ein Regelungssystem daher folgende Bedingungen einhalten:
Die Regelung der O2-Konzentration des Abgases auf einen konstanten Wert.
Die Einhaltung einer gleichbleibenden thermischen Leistung
Die Aufrechterhaltung der optimierten Strömungsverhältnisse im Feuerraum und im 1. Kesselzug mit möglichst geringen Schwankungen, so daß die gewünschten Bedingungen zur Erzielung möglichst geringer Emissionen zur Vermeidung von Korrosionen erhalten bleiben (14).
Diese Bedingungen können nur durch eine optimierte Verbrennung in einem stabilen Arbeitspunkt erfüllt werden. Herkömmliche Regelungen reagieren nicht auf lokale und zeitabhängige Inhomogenitäten des zugeführten Mülls, die auf veränderliche Heizwerte und unterschiedliche Zündeigenschaften beruhen. Dadurch sind starke Schwankungen im Verbrennungsprozeß, die gleichzeitig mit ungünstigen Emissionswerten verbunden sind, nicht zu vermeiden.
Wichtigste Regelgröße ist die erzeugte Dampfleistung. Sie wird hauptsächlich durch die Primärluft, die den verschiedenen Rostzonen zugeführt wird, beeinflußt. Störungen entstehen durch die beschriebene inhomogene Zusammensetzung des Abfalls, die zu einem lokal unterschiedlichen Verbrennungsablauf führt. Die Primärluftverteilung muß daher ständig den Bedürfnissen der einzelnen Zonen angepaßt werden. Da der O2-Gehalt des Abgases auf einem konstanten Wert zu halten ist, werden Sekundär- und Primärluft gegensinnig zueinander geregelt.
Zwischen Zuteiler und Verbrennungsbereich ist immer eine von der Aufgabequalität abhängige Menge an unverbranntem Müll vorhanden. Durch diesen Speichereffekt gibt es keinen direkten Zusammenhang zwischen Zuteilerbewegung und Feuerlage. Die Feuerlage kann nur durch Beobachtungen des Anlagenfahrers bzw. nur über eine spezielle Sensorik bzw. Bildauswertung ermittelt werden.
Eine mögliche Automatisierung ist das Beobachten der Verbrennung mittels der IR-Thermografie. Dies bedeutet zunächst, daß die Anlagenfahrer die Verbrennung direkt aus dem Kontrollraum beobachten können. Aufgrund der Geometrie der Brennkammer liegt in der vorliegenden Anlage die zu beobachtende Zone im wesentlichen bei Rostzone 3 und den nicht vollständig einsehbaren Zonen 2 und 4 (Abb. 3). Dies ist mehr als ausreichend, um die Feuerlage zu bestimmen. Zusätzlich können über statistische Auswertungen des IR-Bildes die Breite der Verbrennungszone ermittelt und Informationen über asymmetrische oder geteilte Feuerlagen abgeleitet werden.
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Abbildung 3: Erfassungszone der IR-Kamera |
Eine mögliche Automatisierung ist das Beobachten der Verbrennung mittels der IR-Thermografie. Dies bedeutet zunächst, daß die Anlagenfahrer die Verbrennung direkt aus dem Kontrollraum beobachten können. Aufgrund der Geometrie der Brennkammer liegt in der vorliegenden Anlage die zu beobachtende Zone im wesentlichen bei Rostzone 3 und den nicht vollständig einsehbaren Zonen 2 und 4 (Abb. 3). Dies ist mehr als ausreichend, um die Feuerlage zu bestimmen. Zusätzlich können über statistische Auswertungen des IR-Bildes die Breite der Verbrennungszone ermittelt und Informationen über asymmetrische oder geteilte Feuerlagen abgeleitet werden.
Auch wenn alle obengenannten Informationen vorliegen, Basis für die Entwicklung eines konventionellen Regelungssystems ist der Aufbau eines entsprechenden mathematischen Modells. Verbrennungsprozesse sind jedoch in der Regel hoch nichtlinear und stellen Mehrgrößenprobleme dar. Auch für konventionelle Regelungsstrategien bleibt daher nur der Weg, einen Regler durch heuristisches Programmieren zu erstellen.
Neue Lösungswege für diese Problemstellungen bieten die Verfahren des Advanced Control, insbesondere Fuzzy Control wurde bereits bei ähnlichen Verbrennungsprozessen erfolgreich eingesetzt [7, 13]. Komplexe Wechselwirkungen zwischen den verschiedenen evaluierten Informationen erfordern eine Methode der strukturierten Informationsanalyse.
2. Entwicklung eines Fuzzy Reglers
Der konventionelle Weg der Prozeßautomatisierung ist personalintensiv: Neben der Definition von Hardware und Schnittstellen muß das regelungstechnische Wissen des Anlagenfahrers sowie die Erfahrung des Regelungsingenieurs akquiriert und durch Software Spezialisten implementiert werden. Alle Spezialisten müssen zusammengebracht werden, um die entwickelte Regelungsstrategie in den Code einer Programmiersprache umzusetzen. Aus diesem Grund müssen menschliche Ideen, Konzepte und Zusammenhänge auf einem technischen Niveau formuliert werden. Typischerweise werden Konzepte in Form von Funktionen dargestellt, Zusammenhänge mittels WENN-DANN-Regeln ausgedrückt. Fuzzy Logic ist eine erprobte Methode diese Art von linguistischem Wissen - durch die Benutzung von linguistischen Variablen mit Zugehörigkeitsfunktionen - in WENN-DANN-Regeln zu implementieren.
Stand der Technik bei Fuzzy Logic Applikationen ist die Verwendung einfacher Methoden zur Berechnung unscharfer WENN-DANN-Regeln. Obgleich die Algorithmen, die diese einfachen Berechnungsmethoden verwenden, erfolgreich bei einer Vielzahl von Regelungsproblemen eingesetzt wurden, stellen sie nur eine grobe Approximation der eigentlich zugrundeliegenden Inhalte dar.
Eine bessere Darstellung der Inhalte kann durch die Verwendung von Fuzzy-Operatoren und erweiterte Inferenzverfahren - z. B. durch Regeln, die selbst unscharf sind - erreicht werden. Fuzzy Operatoren repräsentieren linguistische Verknüpfungen wie "und" und "oder" [6,8,15]. Verschiedene erweiterte Inferenzverfahren wurden entwickelt, wie Zadehs "compositional rule of inference" [17], Koskos [11] sogenannte Fuzzy Associative Maps (FAMs) und Andere [10,12,16]. Diese Konzepte ermöglichen jeder Regel einen Plausibilitätsgrad (oft auch als "degree of support" bezeichnet) zuzuordnen. Zadehs Verfahren ermöglicht eine sehr feine Einstellung der Regeln, erfordert aber einen sehr hohen Rechenaufwand, so daß die Verwendung in den meisten zeitkritischen Systemen nicht möglich ist. Im Vergleich dazu benötigt Koskos Verfahren einen geringen Rechenaufwand, führt andererseits jedoch nur einen Gewichtungsfaktor für jede Regel ein [1].
Um sowohl einen vertretbaren Berechnungsaufwand als auch die Beschreibung komplexer Systeme zu ermöglichen, wurde in [3, 4] eine Kombination der obengenannten Methoden entwickelt: Der Grad zu dem eine Regel "feuert" wird bestimmt durch die Aggregation des Erfülltheitsgrades der Vorbedingung mit dem Plausibilitätsgrad der Regel. Diese Operation erfolgt unter Verwendung eines Fuzzy-Operators. Wählt man in diesem Fall den Produktoperator, so kann der Plausibilitätsgrad als "Gewichtung" jeder einzelnen Regel angesehen werden. Für die Anwendung dieser Methode gibt es eine einfache Strategie: Definiert man zunächst die Plausibilitätsgrade entweder als 0 oder 1, so kann gemäß der bekannten einfachen Verfahren der Fuzzy Logic eine Regelmenge aufgebaut werden. Im Verlauf der Optimierung können dann auch Zwischenwerte im Bereich von 0 bis 1 eingesetzt werden.
Komplexere Systeme mit 50 oder mehr Fuzzy-Regeln, in denen die Regeln einfach nur aufgelistet sind, werden schnell unübersichtlich. In diesen Fällen erweist es sich als sinnvoll, erweiterte Strukturen, wie beispielsweise die Klassifizierung von Regeln in Regelblöcken [3,4] und ihre geeignete Darstellung zu verwenden.
Obgleich Fuzzy-Regelungssysteme auch in einer konventionellen Programmiersprache erstellt werden können, ist es bei komplexen Anwendungen notwendig, ein Tool zu verwenden, um die wiederholte Programmierung von Methoden, wie z.B. Inferenzstrategien oder Defuzzifikationsmethoden zu vermeiden [2]. Auf dem Markt sind bereits einige Werkzeuge für die Entwicklung von Regelungssystemen verfügbar.
Die Tool-unterstützte Entwicklung eines Fuzzy Regler beginnt mit dem Entwurf eines Prototypen. Er sollte die gesamte Struktur des gewünschten Systems enthalten und entspricht damit einer vollständigen Regelungsstrategie. Für den gegebenen Prozeß wurde ein Prototyp mit 18 linguistischen Variablen und 70 Fuzzy-Regeln in insgesamt 9 Regelblöcken aufgebaut. Die Regelungsstrategie wird kompiliert und in die Prozeßleitsoftware, bzw. zu Testzwecken in eine Prozeßsimulation eingebunden.
3. Regler - Optimierung
Wenn der zunächst erstellte Prototyp noch keine zufriedenstellenden Ergebnisse liefert, so muß die Regelstrategie verändert werden. Eine Reihe der zur Entwicklung verwendbaren Tools läßt Reglerveränderungen nur über den Weg der erneuten Precompilation und Compilation des Codes zu. Obschon dieses Konzept ausreichend gut bei der Entwicklung einfacher Regler arbeitet, beinhaltet es Nachteile bei der Fehlersuche und Systemverbeserung.
Auch die Verwendung von handelsüblichen Debuggern ist dazu nicht geeignet, da diese Systeme nur auf der Ebene des erstellten Codes und nicht in Echtzeit arbeiten. Hinzukommt, daß während der Entwicklung einer Fuzzy-Regelungsstrategie für einen kontinuierlichen Prozeß oder dessen Simulation eine Optimierung meist durch kleine Veränderungen erfolgt. Anschließend wird die Reaktion der Regelstrecke auf die Änderungen getestet und analysiert. Durch notwendige wiederholte Kompilation des Reglers und der damit verbundenen Unterbrechung der Kontinuität des Prozesses steigt die Entwicklungszeit erheblich.
Aus diesen Gründen wurde zur weiteren Optimierung die On-Line-Technik angewendet. Mit dem Tool fuzzyTECH ist es möglich, eine Fuzzy-Logic-Regelungsstrategie graphisch zu visualisieren, während das Fuzzy-System zur gleichen Zeit den Prozeß in Echtzeit regelt. Diese Vorgehensweise ermöglicht dem Ingenieur das dynamische Verhalten des Reglers gleichzeitig mit dem Prozeß zu verfolgen.
Ziel der Optimierung ist es, durch die Erprobung von Modifikationen der Regeln oder der Zugehörigkeitsfunktionen die Regelungsgüte zu verbessern. Wenn ein Codegenerator - in diesem Zusammenhang oft als Fuzzy-Precompiler bezeichnet - benutzt wird, so muß bei jeder Veränderung der Regler Off-Line gesetzt und neu kompiliert werden. Zusätzlich zu einer großen Ineffizienz ergibt sich aus diesem Ansatz ein weiterer Nachteil: ein kontinuierlicher Prozeß wird für die Kompilation aus dem Arbeitspunkt auf manuelle Regelung umgestellt. Folglich kann das Ergebnis der Regelstrategieveränderung vom Ingenieur nur schwer visualisiert werden. Diese Vorgehensweise macht eine effiziente Optimierung nahezu unmöglich.
Nach Abschluß der Optimierung des Systems können code- und laufzeitoptimierende Precompiler und Compiler verwendet werden, um die Zielhardware im Dauerbetrieb möglichst gering zu belasten.
| Abbildung 4: Entwicklungsmethodik für Fuzzy-Logic Wissensbasierte Systeme |
Abbildung 4 zeigt die Schritte der Entwicklungsstrategie, in denen komplexe Fuzzy-Logic-Systeme zur Regelung erarbeitet werden [9]:
1. Design: Definition:
- Die Erstellung des Systems beinhaltet die Definition der linguistischen Variablen, Fuzzy-Operatoren,
- der Fuzzy-Regelbasis und die Festlegung der Defuzzifikationsmethoden.
- Hilfreich ist dabei die Verwendung von graphischen Designtools.
- Den Abschluß dieses Entwicklungsschrittes bildet der erste Prototyp des Reglers.
2. Off-Line Optimierung:
.
- Um das statische Verhalten des Reglers zu überprüfen, werden interaktive Tests durchgeführt:
- Auf Veränderungen der Eingangswerte hin wird der Informationsfluß im System analysiert.
- Zusätzlich kann die Regelgüte anhand von vorher aufgezeichneten Prozeßdaten bzw. - wenn möglich -
- durch den Einsatz eines Simulationsmodells getestet werden.
- Für alle Debug-, Simulations- und Analyse-Schritte ist eine Implementation des Reglers notwendig.
- Graphische Analysetools und. Debugger von graphischen Entwurfswerkzeugen erleichtern die Optimierung
- und Fehlererkennung.
- Den Abschluß dieses Entwicklungsschrittes bildet ein verfeinerter Prototyp
3. On-Line Optimierung:
- Der verfeinerte Prototyp wird am laufenden Prozeß optimiert.
- Um eine On-Line-Entwicklung zu ermöglichen muß die Entwicklungsumgebung mit der Prozeßhardware
- verbunden sein. Läuft die Entwicklungssoftware auf Workstation oder PC, also nicht auf dem eingesetzten
- Prozeßleitsystem, so kann eine Verbindung beispielsweise über eine serielle Schnittstelle hergestellt werden.
- Dieser Entwicklungsschritt erlaubt eine weitere Optimierung des Systems, das anschließend implementiert werden kann.
4. Implementierung
- Das optimierte System wird für das Zielsystem codeoptimiert.
- Dazu können hochoptimierende Precompiler oder Compiler für die jeweilige Hardware verwendet werden.
- Das Ergebnis ist eine - nach Laufzeit und Code-Größe optimierte - Reglersoftware.
4. Eine neue Reglerstruktur
Die Anwendung erweiterter Fuzzy Logic Entwicklungstechniken führt zu einer neuen Struktur für das gewünschte Regelungssystem. Das System ist in drei Stufen unterteilt, in denen jeweils eine kurz- und eine langfristige Strategie behandelt wird (Bild 5).
| Abbildung 4: Entwicklungsmethodik für Fuzzy-Logic Wissensbasierte Systeme |
Die
erste Stufe entspricht einer Leistungsregelung, aufgeteilt in
Der Sollwert der langfristigen Regelung wird aus der Kombination der Sensordaten mit den aus der kurzfristigen Regelung erhaltenen Informationen über das Verhalten des Systems berechnet.
Die
zweite Stufe regelt den Durchsatz der Müllmenge, wobei
Zur Bestimmung der momentanen Feuerlage werden charakteristische Parameter aus der IR-Thermographie bezogen.
In
der dritten Stufe, die der Optimierung der Verbrennung dient, werden zusätzliche
Informationen aus der IR-Thermographie verwendet. Die Optimierung besteht dabei aus
folgenden Schritten:
Die Benutzung von Fuzzy Logic ermöglicht die Verwendung vieler und verschiedenartiger Informationen. Neben direkt meßbaren Werten, wie z. B. die Dampfleistung, treten kennzeichnende Parameter für die Feuerlage und die Feuerlänge auf, die aus den Daten der IR-Thermografie berechnet werden.
Das Ergebnis ist ein hybrides System, in dem konventionelle Berechnungsmethoden mit den Methoden der Fuzzy Logic kombiniert werden um die auftretenden Unsicherheiten angemessen zu berücksichtigen. Um die Regelungsstrategie aus vorliegendem Expertenwissen abbilden zu können, wurden die einzelnen Teile der gezeigten Struktur unter Verwendung von liguistischen Variablen und Fuzzy Regeln implementiert.
Zur Implementierung wurde das graphische Entwicklungs-Tool fuzzyTECH verwendet. Abbildung 6 zeigt einen Ausschnitt des Hauptarbeitsblattes in dem der Bereich der Leistungsregelung dargestellt wird. Konkretere Informationen verbergen sich hinter den dargestellten Objekten, die Regelblöcke und Schnittstellen repräsentieren. Den Regelblöcken entspricht jeweils ein Satz von Fuzzy-Regeln, die Schnittstellen stellen den Datentransfer zu den vor- bzw. nachgeschaltete Rechenoperationen her.
| Abbildung 6: Ausschnitt der Struktur des Fuzzy Projektes: "Leistungsregelung" |
Die optimierte Feuerleistungsregelung führt zu einem insgesamt gleichmäßigeren Verbrennungsablauf. Dadurch ist eine Verringerung des CO-Gehaltes im Rauchgas und eine Verbesserung der Ausbrandparameter erzielbar, verbunden insbesondere auch mit einer Verminderung der Emissionen und der darin enthaltenen chlororganischen Bestandteile.
Der hier vorgestellte Feuerleistungsregler entstand im Rahmen eines vom Bundesminister für Forschung und Technologie geförderten Projektes.
Literatur
| [1] | C. von Altrock, B. Krause und H.-J. Zimmermann, "Advanced Fuzzy Logic Control Technologies in Automotive Applications," Proceedings of 1992 IEEE International Conference on Fuzzy Systems, pp.835-843, San Diego, March 1992. | |
| [2] |
C.
von Altrock, B. Krause und H.-J. Zimmermann, "On-Line Development Tools for Fuzzy
Knowledge-Based Systems of Higher Order," Proceedings of the 2nd International
Conference on Fuzzy Logic und Neural Network, pp.269-272, Iisuka, July 1992. |
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| [3] | C. von Altrock, B. Krause und H.-J. Zimmermann, "Framework of a Fuzzy Intelligence Research Shell," Working Paper 5/90, RWTH University of Aachen, Germany 1990. | |
| [4] |
C.
von Altrock, B. Krause und H.-J. Zimmermann, "Implementation of a Fuzzy Intelligence
Research Shell," Working Paper 6/90, RWTH University of Aachen, Germany 1990. |
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| [15] | U. Thole, H.-J. Zimmermann und P. Zysno, "On the Suitability of Minimum and Product Operators for the Intersection of Fuzzy Sets," FSS 2, pp. 173-186, 1975. | |
| [16] |
R. M. Tong, "Analysis of Fuzzy Control Algorithms using the
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| [17] |
L. A. Zadeh, "Outline of a New Approach to the Analysis of
Complex Systems and Decision Processes," IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. SMC-3, No. 1, pp. 28-44, 1973. |
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| [18] | H.-J. Zimmermann und P. Zysno, "Latent Connectives in Human Decision Making," FSS 4, pp. 37-51, 1980. | |
| [19] | H.-J. Zimmermann, Fuzzy Set Theory - and its Applications, 2nd rev. Ed. Kluver, Boston, 1991. |